ディリクレ積分_補題２：

「ディリクレ積分_分かり易く」に出てくるキーとなる下記積分値を導出する。

この積分値を導出するにあたり、色々な方法があると思われますが、ここでは寺澤氏の方法で導出を行います。その流れは次の通りです。

(1) $\int_{}^{} e^{ax}\cos(bx)dx=\frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}(a\cos(bx)+b\sin(bx))\quad$の導出

(2) $a=1, \quad b=\alpha$としてxに関する定積分の後、$\alpha$に関して定積分し、下式を得る

(3) $\cos(\alpha x)=\frac{1}{x}\frac{d\sin(\alpha x)}{d\alpha}$により、上の積分を書き換えて下式とします。

(4) 上式を$\alpha$で定積分することにより、下式を得ます。

(5) 更に、$\sin(\alpha x)=\frac{-1}{x}\frac{d\cos(\alpha x)}{d\alpha}\quad$を用いて上式の左辺を書き換えます。

(6) $x=\beta t,\quad \beta=1/\alpha\quad$ の変数変換し、後で$t$を$x$に書き直すことにより下式を得ます。

(7) $\beta\rightarrow +0\quad$として、下式を得ます。

(8) $x=2t\quad$の変数変換を上式左辺に行い、後で$t$を$x$に書き直すことにより下式を得ます。

(9) 上掲(7)の左辺を$A'(x)=1/x^{2}, \quad B(x)=1-\cos(x)$として部分積分法を利用すると求めたい下式を得ます。

以上のフローに従って、(1)～(9)を具体的に求めていきます。

1. $\int_{}^{} e^{ax}\cos(bx)dx=\frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}(a\cos(bx)+b\sin(bx))\quad$の導出

この不定積分を部分積分の方法を使って解きます。

$A(x)=e^{ax}, \quad\quad B'(x)=\cos(bx)\\ A'(x)=ae^{ax},\quad\quad B(x)=\frac{1}{b}\sin(bx)$

と置けば、

　$I=\int_{}^{} e^{ax}\cos(bx)dx=[A(x)B(x)]-\int{}_{}A'(x)B(x)dx$

$\quad=\frac{e^{ax}}{b}\sin(bx)-\int_{}^{}ae^{ax}\frac{1}{b}\sin(bx)dx=\frac{e^{ax}}{b}\sin(bx)-\frac{a}{b}\int_{}^{}e^{ax}\sin(bx)dx$

ここで、再び部分積分を行い

$A(x)=e^{ax}, \quad\quad B'(x)=\sin(bx)\\ A'(x)=ae^{ax},\quad\quad B(x)=-\frac{1}{b}\cos(bx)$

と置けば、

　$I=\frac{e^{ax}}{b}\sin(bx)-\frac{a}{b}\left\{[A(x)B(x)]-\int_{}^{}A'(x)B(x)dx\right\}$

$\quad=\frac{e^{ax}}{b}\sin(bx)-\frac{a}{b}\left\{-e^{ax}\frac{1}{b}\cos(bx)+\int_{}^{}ae^{ax}\frac{1}{b}\cos(bx)dx\right\}$

$=e^{ax}\Big(\frac{1}{b}\sin(bx)+\frac{a}{b^2}\cos(bx)\Big)-\frac{a^2}{b^2}\int e^{ax}\cos(ax)dx$

2. $\int d\alpha\int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos(\alpha x)dx=\tan^{-1}(\alpha)\quad$の導出

Sp01に$a=-1,\quad b=\alpha\quad$と置くことにより

従って

この式を区間[0, \alpha]で積分します。

ここで、

3. $\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=\tan^{-1}(\alpha)\quad$の導出

$\cos(\alpha x)=\frac{1}{x}\frac{d\sin(\alpha x)}{d\alpha}\quad$ですので、

Sp02より、$I=\tan^{-1}\alpha\quad$だから、下式を得ます。

4. $\int_{0}^{\alpha}d\alpha\int_{0}^{\infty}dx \, e^{-x}\,\frac{\sin(\alpha x)}{x}=\alpha\,\tan^{-1}(\alpha)-\frac{1}{2}\log_{e}{(1+\alpha^2)}\quad$の導出

そこで、変数変換を行い下記とします。

すると

ここで、部分積分を行う為、下記のように設定すると

$A(y)=y,\quad B'(y)=\sec^2(y)\\A'(y)=1,\quad B(y)=\tan(y)$

そこで、

又、

尚、ここでは、下記の変数変換を利用した。

従って、下式を得る

5. $\int_{0}^{\infty}dx\,e^{-x}\,\frac{1-\cos(\alpha x)}{x^2}=\alpha\cdot\tan^{-1}(\alpha)-\frac{1}{2}\,\log_{e}{(1+\alpha^2)}\quad$の導出

6. $\int_{0}^{\infty}dx\,e^{-\beta x}\,\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\tan^{-1}\left(\frac{1}{\beta}\right)-\frac{\beta}{2}\,\log_{e}{\left(1+\frac{1}{\beta^2}\right)}\quad$の導出

ここで、下記変数変換をおこないます。

Sp05より

よって上下２つの式に$\beta$を掛けることにより、下記式を得ます。積分式の変数$ｔ$は$ｘ$に変更します。

7. $\int_{0}^{\infty}dx\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{\pi}{2}\quad$の導出

Sp06の左辺にて$\beta\rightarrow +0$とすれば、

同様に、右辺にて$\beta\rightarrow +0$とすれば、

又、

従って

により、

ここで、$0^0$は、ゼロのゼロ乗だからゼロだという風に取れそうだが、実際にはロピタルの定理を使うことにより、$y=\log_{e}{x^x}$と置けば、

すると、結果として下記を得る。

尚、ロピタル定理は別項にて解説します。（補題４）

8. $\int_{0}^{\infty}dx\,\frac{\sin^2(x)}{x^2}=\frac{\pi}{2}\quad$の導出

Sp07にて$x=2t$と置くと、

だから、

9. $\int_{0}^{\infty}dx\,\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\pi}{2}\quad$の導出

$I=\int_{0}^{\infty}dx\,\frac{1-\cos(x)}{x^2}\quad$と置き、部分積分を行います。下記設定を行います。

$A(x)=1-\cos(x),\quad B'(x)=\frac{1}{x^2}\\A'(x)=\sin(x),\quad B(x)=-\frac{1}{x}$

すると

ここで、

また、ここでもロピタル定理を使い

以上により、

所与の目的が達成された。

(補足１）上述で使ったロピタル定理を使わない方法もある。マクローラン展開を使うことにより、

ただし、$\log_{e}{x^x}$の場合は、この様なマクローラン展開できないので、適用できません。